AtCoder ABC186E - Throne

問題概要

atcoder.jp

解説

$x$ 回目にはじめて玉座に座ることができるとすると

$S+Kx≡0\ (mod\ N)$
$⇔Kx≡-S\ (mod\ N)$

と立式できる。

$K$ と $N$ が互いに素のとき

$N$ を法とした $K$ の逆元が存在するので

$x≡-SK^{-1}\ (mod\ N)$

で求められる（モジュラ逆数 - Wikipedia）。

$K$ と $N$ が互いに素でないとき

$K$ と $N$ の最大公約数を $g\ (g>1)$ と置き、 $K$ を $g$ で割った商を $K'$ 、 $N$ を $g$ で割った商を $N'$ とすると

$K=gK'$
$N=gN'$

となり、 $K'$ と $N'$ は互いに素になる。
元の式 $S+Kx≡0\ (mod\ N)$ について考えると、整数 $m$ を用いて

$S+Kx=Nm$
$⇔S=Nm-Kx$
$⇔S=gN'm-gK'x$
$⇔S=g(N'm-K'x)$

のように表せられ、 $S$ は $g$ の倍数である必要があることが分かる。つまり、 $S$ が $g$ の倍数でないときは解なしとなる。 $S$ が $g$ の倍数であるとき、 $S$ を $g$ で割った商を $S'$ とすると

$⇔gS'=g(N'm-K'x)$
$⇔S'=N'm-K'x$
$⇔S'+K'x≡0\ (mod\ N')$
$⇔K'x≡-S'\ (mod\ N')$

となり、冒頭の式に帰着することが分かる。

逆元の求め方

$x$ が $mod\ N$ における $K$ の逆元であるとは

$Kx≡1\ (mod\ N)$

が成立することである。これは整数 $y$ を用いて

$Kx-1=Ny$
$⇔Kx+Ny=1$

のように表せられ、 $y$ が存在すると逆元が存在するということになる。上式を満たす $x$ は拡張ユークリッドの互除法によって求めることができる。

拡張ユークリッドの互除法とは

整数 $a, b$ が与えられたときに

$ax+by=gcd(a,b)$

を満たす $x, y$ を1つ求めるアルゴリズムである。

ソースコード

#pragma GCC optimize("O3")
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <complex>
#include <cmath>
#include <limits>
#include <cfloat>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <numeric>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <bitset>
using namespace std;

using ll = long long;
using P = pair<int, int>;
using T = tuple<int, int, int>;

template <class T> inline T chmax(T &a, const T b) {return a = (a < b) ? b : a;}
template <class T> inline T chmin(T &a, const T b) {return a = (a > b) ? b : a;}

constexpr int MOD = 1e9 + 7;
constexpr int inf = 1e9;
constexpr long long INF = 1e18;

#define all(a) (a).begin(), (a).end()

int dx[] = {1, 0, -1, 0};
int dy[] = {0, 1, 0, -1};

// {g, x, y} : a x + b y = g
tuple<ll, ll, ll> extgcd(ll a, ll b){
    if(b == 0) return {a, 1, 0};
    ll g, x, y; tie(g, x, y) = extgcd(b, a % b);
    return {g, y, x - a / b * y};
}

int main(){
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t; cin>>t;
    while(t--){
        ll n, s, k; cin>>n>>s>>k;
        ll g, x, y; tie(g, x, y) = extgcd(k, n);
        if(s % g != 0){
            cout << -1 << endl;
        }
        else{
            n /= g, s /= g, k /= g;
            ll ans = ((-s * x) % n + n) % n;
            cout << ans << endl;
        }
    }

    return 0;
}